Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x$

Bước 1

Nhân để trục căn thức ở tử.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - x) (\sqrt{x^{2} + x} + x)}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển tử số bằng phương pháp FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x} x + \sqrt{x^{2} + x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Bước 2.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Bước 3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x} + x}$

Bước 3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}} + x}$

Bước 3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1} + x}$

Bước 3.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (x + 1)} + x}$

Bước 4

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Bước 5.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + 1}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 8

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + 1}$

Bước 11.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Chia $1 + 0$ cho $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Bước 11.3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Bước 11.3.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Bước 11.3.2.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$