Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 - \cos (x)$ và $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.4.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.4.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) + 1 (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.6.2

Nhân $1 - \cos (x)$ với $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 1 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 1 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1.1

Trừ $\cos (x) \sin (x)$ khỏi $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 \sin (x) + 0 + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.7.3.1.2

Cộng $1 \sin (x)$ và $0$ .

$\frac{1 \sin (x) + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.7.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.2.1

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.7.3.2.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.7.3.3

Cộng $\sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$