Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x - 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$u_{lower} = - 2 - 1$

Bước 1.3.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$u_{lower} = - 3$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Bước 1.5.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $3^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $3^{u}$ đối với $u$ là $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ .

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ tại $1$ và tại $- 3$ .

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính số mũ.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

Bước 6.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

Bước 6.2.4

Viết lại $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ ở dạng một tích.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

Bước 6.2.5

Nhân $\frac{1}{27}$ với $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Bước 6.2.6

Nhân $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ với $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Bước 6.2.7

Kết hợp.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.10

Kết hợp $\ln (3)$ và $\frac{1}{27 \ln (3)}$ .

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.11.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.12

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.13

Kết hợp $3$ và $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.15.1

Nhân $3$ với $27$ .

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.15.2

Trừ $1$ khỏi $81$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Bước 6.2.16

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (3)$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

Bước 6.2.17

Viết lại $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ ở dạng một tích.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

Bước 6.2.18

Nhân $\frac{80}{27}$ với $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

Bước 6.2.19

Nhân $2$ với $27$ .

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

Bước 6.2.20

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $54$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $80$ .

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

Bước 6.2.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.20.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $54 \ln (3)$ .

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

Bước 6.2.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

Bước 6.2.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Dạng thập phân:

$1.34850255 \dots$

Bước 8