Giải tích Ví dụ

$y = \frac{8 - \sec (x)}{\tan (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 - \sec (x)}{\tan (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 8 - \sec (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [8 - \sec (x)] - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 - \sec (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.2.2

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sec (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.4

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.5

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.8

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (8 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 8 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 8 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.1.2

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.2.1

Di chuyển $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.1.2.2

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.2.2.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.1.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.1.3

Nhân $- - \sec^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.1.3.2

Nhân $\sec^{3} (x)$ với $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.2.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.2.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- 8 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.2.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.2.4

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.2.5

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.3

Di chuyển $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.4

Sắp xếp lại $- \tan^{2} (x)$ và $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.7

Nhân $\sec (x)$ với $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\sec (x) - 8 \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.9

Nhân $- 8 \sec (x) \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.9.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) - 8 (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.9.2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) - 8 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.9.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sec (x) - 8 {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.3.9.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sec (x) - 8 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.4

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) - 8 \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.4.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - 8 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.4.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- 8 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.4.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3.9.5

Đưa $\tan (x)$ ra ngoài $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

Bước 3.9.6

Tách các phân số.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Bước 3.9.7

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 3.9.8

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 3.9.9

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 3.9.10

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 3.9.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 3.9.11

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

Bước 3.9.12

Kết hợp $\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)}$ và $\csc (x)$ .

$\frac{(1 - 8 \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

Bước 3.9.13

Tách các phân số.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

Bước 3.9.14

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 3.9.15

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 3.9.16

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 3.9.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.17.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 3.9.17.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

Bước 3.9.18

Chia $1 - 8 \sec (x)$ cho $1$ .

$(1 - 8 \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

Bước 3.9.19

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - 8 \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

Bước 3.9.20

Nhân $\csc (x) \cot (x)$ với $1$ .

$\csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$