Giải tích Ví dụ

$y = \frac{7}{x^{5}} - \frac{2}{x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{5}} - \frac{2}{x})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{7}{x^{5}} - \frac{2}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7}{x^{5}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$7 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$7 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$7 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$7 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$7 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$7 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$7 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.2.8

Nhân $- 5$ với $7$ .

$- 35 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{x}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 35 x^{- 6} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- 35 x^{- 6} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 35 x^{- 6} - 2 (- x^{- 2})$

Bước 3.3.4

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- 35 x^{- 6} + 2 x^{- 2}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 35 \frac{1}{x^{6}} + 2 x^{- 2}$

Bước 3.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 35 \frac{1}{x^{6}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Kết hợp $- 35$ và $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{- 35}{x^{6}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3.4.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{35}{x^{6}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3.4.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{35}{x^{6}} + \frac{2}{x^{2}}$

Bước 3.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{35}{x^{6}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2}{x^{2}} - \frac{35}{x^{6}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2}} - \frac{35}{x^{6}}$