Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π) + \frac{1}{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π) + \frac{1}{2})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π) + \frac{1}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} \cdot \sin (π x - π)$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (π x - π)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (π x - π)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = π x - π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $π x - π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x - π]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x - π]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $π x - π$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) \frac{d}{d x} [π x - π]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $π x - π$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.4

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.6

Vì $- π$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- π$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (π \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.7

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) (π + 0)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.8

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (\cos (π x - π) π) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.9

Kết hợp $\cos (π x - π)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (π x - π)}{2} π + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.2.10

Kết hợp $\frac{\cos (π x - π)}{2}$ và $π$ .

$\frac{\cos (π x - π) π}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}]$

Bước 3.3

Vì $\frac{1}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\cos (π x - π) π}{2} + 0$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $\frac{\cos (π x - π) π}{2}$ và $0$ .

$\frac{\cos (π x - π) π}{2}$

Bước 3.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{π \cos (π x - π)}{2}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{π \cos (π x - π)}{2}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{π \cos (π x - π)}{2}$