Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{x^{7}}{7}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7} \ln (x)}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.2

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{7} \ln (x)}{7}$ đối với $x$ là $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.6

Kết hợp $x^{7}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{7}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{7}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.7.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.2.7.2.5

Chia $x^{6}$ cho $1$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{1}{49}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{7}}{49}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{1}{49} (7 x^{6})$

Bước 3.3.3

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - 7 (\frac{1}{49}) x^{6}$

Bước 3.3.4

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{49}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- 7}{49} x^{6}$

Bước 3.3.5

Kết hợp $\frac{- 7}{49}$ và $x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- 7 x^{6}}{49}$

Bước 3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 7$ và $49$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Đưa $7$ ra ngoài $- 7 x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{49}$

Bước 3.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $49$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{7 (7)}$

Bước 3.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{7 \cdot 7}$

Bước 3.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- x^{6}}{7}$

Bước 3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{1}{7} (\ln (x) (7 x^{6})) - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{\ln (x)}{7} (7 x^{6}) - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.2

Kết hợp $7$ và $\frac{\ln (x)}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x)}{7} x^{6} - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.3

Kết hợp $\frac{7 \ln (x)}{7}$ và $x^{6}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x) x^{6}}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x) x^{6}}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.4.2

Chia $\ln (x) x^{6}$ cho $1$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \ln (x) x^{6} - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.5

Để viết $\frac{1}{7} x^{6}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{1}{7} x^{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.6

Kết hợp $\frac{1}{7} x^{6}$ và $\frac{7}{7}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{1}{7} x^{6} \cdot 7}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{1}{7} x^{6} \cdot 7 - x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.8

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{x^{6}}{7} \cdot 7 - x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.9

Kết hợp $\frac{x^{6}}{7}$ và $7$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{x^{6} \cdot 7}{7} - x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.10

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{7 \cdot x^{6}}{7} - x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{7 x^{6}}{7} - x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.11.2

Chia $x^{6}$ cho $1$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{x^{6} - x^{6}}{7}$

Bước 3.4.2.12

Trừ $x^{6}$ khỏi $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{0}{7}$

Bước 3.4.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.13.1

Đưa $7$ ra ngoài $0$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 (0)}{7}$

Bước 3.4.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.13.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $7$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (x) x^{6} + \frac{0}{1}$

Bước 3.4.2.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\ln (x) x^{6} + 0$

Bước 3.4.2.14

Cộng $\ln (x) x^{6}$ và $0$ .

$\ln (x) x^{6}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\ln (x) x^{6}$ .

$x^{6} \ln (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = x^{6} \ln (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{6} \ln (x)$