Giải tích Ví dụ

$y = {(x - \ln (x))}^{7}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - \ln (x))}^{7})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = x - \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - \ln (x)$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Bước 3.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{1}{x})$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \cdot 1 + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Bước 3.4.2

Nhân $7$ với $1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Bước 3.4.3

Nhân $7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - 7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{1}{x}$

Bước 3.4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $- 7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7}{x} {(x - \ln (x))}^{6}$

Bước 3.4.3.3

Kết hợp $\frac{- 7}{x}$ và ${(x - \ln (x))}^{6}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Bước 3.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Bước 3.4.5

Để viết $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x}{x} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Bước 3.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Bước 3.4.7

Đưa $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ ra ngoài $7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Đưa $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ ra ngoài $7 {(x - \ln (x))}^{6} x$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Bước 3.4.7.2

Đưa $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ ra ngoài $- 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)}{x}$

Bước 3.4.7.3

Đưa $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ ra ngoài $7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$