Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{y}}{1 + \sin (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{y}}{1 + \sin (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{y}$ và $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [e^{y}] - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(1 e^{y} + \sin (x) e^{y}) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$\frac{e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.6.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.2.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$ .

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Vì $y'$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

Bước 5.3.2

Rút gọn $y' {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Viết lại.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = 0 + 0 + y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

Bước 5.3.2.2

Viết lại ${(1 + \sin (x))}^{2}$ ở dạng $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))$

Bước 5.3.2.3

Khai triển $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

Bước 5.3.2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

Bước 5.3.2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

Bước 5.3.2.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

Bước 5.3.2.4.1.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

Bước 5.3.2.4.1.3

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x))$

Bước 5.3.2.4.1.4

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1.4.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x))$

Bước 5.3.2.4.1.4.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Bước 5.3.2.4.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1})$

Bước 5.3.2.4.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x))$

Bước 5.3.2.4.2

Cộng $\sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x))$

Bước 5.3.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

Bước 5.3.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.1

Nhân $y'$ với $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

Bước 5.3.2.6.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x)$

Bước 5.3.3

Vì $y'$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.4

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $y' e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} = y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.4.2

Trừ $y' e^{y} \sin (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y' \sin (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \sin^{2} (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' e^{y}$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5.5

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' e^{y} \sin (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5.6

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x))$ .

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5.7

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' \sin^{2} (x)$ .

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5.8

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y})$ .

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.5.9

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x))$ .

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.6

Viết lại $- 1 e^{y}$ ở dạng $- e^{y}$ .

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.7

Viết lại $- 1 e^{y}$ ở dạng $- e^{y}$ .

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Bước 5.3.8

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ cho $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ cho $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ .

$\frac{y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x))}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)} = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

Bước 5.3.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 5.3.8.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

Bước 5.3.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$