Giải tích Ví dụ

$y = \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(x + 5)}^{3}$ và $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{({(x - 3)}^{3})}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${({(x - 3)}^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{3 \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x - 3)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.4.4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (1 + 0) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} \cdot 1 - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.4.5.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.6.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.6.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.6.5.2

Nhân ${(x - 3)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Đưa $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ ra ngoài $3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1

Đưa $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ ra ngoài $3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.1.1.2

Đưa $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ ra ngoài $- 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) + 3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- (x + 5))}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.1.1.3

Đưa $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ ra ngoài $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) + 3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- (x + 5))$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - (x + 5))}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - x - 1 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.1.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - x - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.1.4

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (0 - 3 - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.1.5

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- 3 - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.1.6

Trừ $5$ khỏi $- 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.1.7

Nhân $- 8$ với $3$ .

$\frac{- 24 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x - 3)}^{2}$ và ${(x - 3)}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1

Đưa ${(x - 3)}^{2}$ ra ngoài $- 24 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{6}}$

Bước 3.7.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.2.1

Đưa ${(x - 3)}^{2}$ ra ngoài ${(x - 3)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{4}}$

Bước 3.7.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{4}}$

Bước 3.7.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Bước 3.7.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$