Giải tích Ví dụ

$y = {(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 8 + x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $8 + x^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $8 + x^{5}$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 + x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.2.3

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (0 + 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.2.5

Cộng $0$ và $5 x^{4}$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.2.6

Nhân $5$ với $4$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- {(6 + x^{7})}^{5}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [{(6 + x^{7})}^{5}]$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - \frac{d}{d x} [{(6 + x^{7})}^{5}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = 6 + x^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $6 + x^{7}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $6 + x^{7}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 + x^{7}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x^{7}]))$

Bước 3.3.4

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [x^{7}]))$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (0 + 7 x^{6}))$

Bước 3.3.6

Cộng $0$ và $7 x^{6}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (7 x^{6}))$

Bước 3.3.7

Nhân $7$ với $5$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6})$

Bước 3.3.8

Nhân $35$ với $- 1$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$

Bước 3.4

Đưa $5 x^{4}$ ra ngoài $20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $5 x^{4}$ ra ngoài $20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4}$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$

Bước 3.4.2

Đưa $5 x^{4}$ ra ngoài $- 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) + 5 x^{4} (- 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

Bước 3.4.3

Đưa $5 x^{4}$ ra ngoài $5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) + 5 x^{4} (- 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$