Giải tích Ví dụ

$\ln (x y) = e^{2 x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2.2

Kết hợp $\frac{x}{x y}$ và $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2.4

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Bước 2.6.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Bước 2.6.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Bước 3.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Bước 3.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 2 e^{2 x}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $\frac{1}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y'}{y} = 2 e^{2 x} - \frac{1}{x}$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn $(2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{1}{x} y$

Bước 5.3.2.1.2

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$

Bước 5.3.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$ .

$y' = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$