Giải tích Ví dụ

$\arcsin (x y) = \frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x y)) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x))$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\arcsin (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y)$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (x^{2} y^{2})}} (x y' + y)$

Bước 2.6.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} (x y' + y)$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3.3.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3.3.2.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3.3.2.2

Nhân $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{(1 + 16 x^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 3.3.2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $1 + 16 x^{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 3.3.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.4.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \cdot 1$

Bước 3.3.6

Nhân $\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$ với $1$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8}{3 \cdot 1 + 3 (16 x^{2})}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{8}{3 + 3 (16 x^{2})}$

Bước 3.4.2.2

Nhân $16$ với $3$ .

$\frac{8}{3 + 48 x^{2}}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8}{48 x^{2} + 3}$

Bước 3.4.4

Đưa $3$ ra ngoài $48 x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $48 x^{2}$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3}$

Bước 3.4.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3 (1)}$

Bước 3.4.4.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (16 x^{2}) + 3 (1)$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}) = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân mỗi số hạng trong $(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ với $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân mỗi số hạng trong $(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ với $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.1.2

Viết lại $x^{2} y^{2}$ ở dạng ${(x y)}^{2}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x y$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ .

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}) \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.2

Nâng $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ lên lũy thừa $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.3

Nâng $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ lên lũy thừa $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.6

Viết lại ${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ ở dạng $(1 + x y) (1 - x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ ở dạng ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.1.6.5

Rút gọn.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.2

Nhân $x y' + y$ với $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.3

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.3.3.2

Viết lại $x^{2} y^{2}$ ở dạng ${(x y)}^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.4

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.5

Nhân $\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.5.1

Kết hợp $\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ và $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.5.2

Nâng $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.5.3

Nâng $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.6.1

Viết lại ${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ ở dạng $(1 + x y) (1 - x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.6.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ ở dạng ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x y' + y) {({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.6.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.1.5

Rút gọn.

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.2

Khai triển $(1 + x y) (1 - x y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x y' + y) (1 (1 - x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.6.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.1.2

Nhân $- x y$ với $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x y (x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.6.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - (x \cdot x) y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.1.6

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.6.3.1.6.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} (y \cdot y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.1.6.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.2

Cộng $- x y$ và $x y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 + 0 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.3.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.4

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.5

Viết lại $x^{2} y^{2}$ ở dạng ${(x y)}^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - {(x y)}^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.6

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - (x y)))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.6.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.7

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.7.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.2.7.2.2

Chia $x y' + y$ cho $1$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}$

Bước 5.1.3.1.2

Viết lại $x^{2} y^{2}$ ở dạng ${(x y)}^{2}$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}$

Bước 5.1.3.2

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))}$

Bước 5.1.3.3

Kết hợp $\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ và $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$x y' + y = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Bước 5.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ cho $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y}{x}$

Bước 5.3.3.2

Để viết $- y$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y \cdot \frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Kết hợp $- y$ và $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} + \frac{- y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Bước 5.3.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Bước 5.3.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Bước 5.3.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2}) - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Bước 5.3.3.4.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Bước 5.3.3.4.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Bước 5.3.3.4.5

Nhân $- 3$ với $16$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Bước 5.3.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 5.3.3.6

Nhân $\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}$ với $\frac{1}{x}$ .

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$

Bước 5.3.3.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$ .

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$