Giải tích Ví dụ

$x \ln (y) + 2 y = 2 x^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \ln (y) + 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2.6

Kết hợp $x$ và $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.2.7

Nhân $\ln (y)$ với $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 y'$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, y, 1, 1$

Bước 5.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$y$

Bước 5.2

Nhân mỗi số hạng trong $2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ với $y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ với $y$ .

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 y' y + x y' + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Bước 5.2.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 y' y + x y' + \ln (y) y$ .

$2 y' y + x y' + y \ln (y) = 6 x^{2} y$

Bước 5.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $y \ln (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y' y + x y' = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y' y + x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y' y$ .

$y' (2 y) + x (y') = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Bước 5.3.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' (2 y) + y' (x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Bước 5.3.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 y) + y' (x)$ .

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ cho $2 y + x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ cho $2 y + x$ .

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 y + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{6 x^{2} y - y \ln (y)}{2 y + x}$

Bước 5.3.3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $6 x^{2} y - y \ln (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (6 x^{2}) - y \ln (y)}{2 y + x}$

Bước 5.3.3.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{2 y + x}$

Bước 5.3.3.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ .

$y' = \frac{y (6 x^{2} - 1 \ln (y))}{2 y + x}$

Bước 5.3.3.3.2.2

Viết lại $- 1 \ln (y)$ ở dạng $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$