Giải tích Ví dụ

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - y^{2}}$ ở dạng ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.6.2.2

Di chuyển ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Bước 4.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Bước 4.6.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Bước 4.6.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Bước 4.6.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 4.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 4.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 4.8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 4.8.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 4.8.3

Kết hợp $y$ và $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.8.4

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{- 2 \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.8.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.11

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y'$

Bước 4.12

Kết hợp $y'$ và $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{y' y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13

Sắp xếp lại các thừa số trong $y' y$ .

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = - \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.2.2

Chia $\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ cho $1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Bước 6.3

Nhân cả hai vế với ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.5

Chia mỗi số hạng trong $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ cho $y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ cho $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Bước 6.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Bước 6.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Bước 6.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$