Giải tích Ví dụ

$x = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.6.2.2

Di chuyển ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 4.6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 4.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 4.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 4.8

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$

Bước 4.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.2

Nhân $2 x + 2 y y'$ với $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 4.9.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế với ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x + y y' = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.1.1.2

Rút gọn bằng cách giao hoán.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Sắp xếp lại $y$ và $y'$ .

$x + y' y = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.1.1.2.2

Sắp xếp lại $x$ và $y' y$ .

$y' y + x = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$y' y + x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.4

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$

Bước 6.4.2

Chia mỗi số hạng trong $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ cho $y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ cho $y$ .

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Bước 6.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Bước 6.4.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Bước 6.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$