Giải tích Ví dụ

$x = \sec (5 y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (5 y))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 5 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sec (u)$ đối với $u$ là $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 y$ .

$\sec (5 y) \tan (5 y) \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 3.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec (5 y) \tan (5 y) (5 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\sec (5 y) \tan (5 y) (5 y')$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\sec (5 y) \tan (5 y) (5 y')$ .

$5 \sec (5 y) \tan (5 y) y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 5 \sec (5 y) \tan (5 y) y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $5 \sec (5 y) \tan (5 y) y' = 1$ .

$5 \sec (5 y) \tan (5 y) y' = 1$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $5 \sec (5 y) \tan (5 y) y' = 1$ cho $5 \sec (5 y) \tan (5 y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $5 \sec (5 y) \tan (5 y) y' = 1$ cho $5 \sec (5 y) \tan (5 y)$ .

$\frac{5 \sec (5 y) \tan (5 y) y'}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)} = \frac{1}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \sec (5 y) \tan (5 y) y'}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)} = \frac{1}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sec (5 y) \tan (5 y) y'}{\sec (5 y) \tan (5 y)} = \frac{1}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (5 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec (5 y) \tan (5 y) y'}{\sec (5 y) \tan (5 y)} = \frac{1}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)}$

Bước 5.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\tan (5 y) y'}{\tan (5 y)} = \frac{1}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)}$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (5 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\tan (5 y) y'}{\tan (5 y)} = \frac{1}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)}$

Bước 5.2.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{5 \sec (5 y) \tan (5 y)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Tách các phân số.

$y' = \frac{1}{5 \tan (5 y)} \cdot \frac{1}{\sec (5 y)}$

Bước 5.2.3.2

Viết lại $\sec (5 y)$ theo sin và cosin.

$y' = \frac{1}{5 \tan (5 y)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (5 y)}}$

Bước 5.2.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (5 y)}$ .

$y' = \frac{1}{5 \tan (5 y)} (1 \cos (5 y))$

Bước 5.2.3.4

Nhân $\cos (5 y)$ với $1$ .

$y' = \frac{1}{5 \tan (5 y)} \cos (5 y)$

Bước 5.2.3.5

Tách các phân số.

$y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\tan (5 y)} \cos (5 y)$

Bước 5.2.3.6

Viết lại $\tan (5 y)$ theo sin và cosin.

$y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (5 y)}{\cos (5 y)}} \cos (5 y)$

Bước 5.2.3.7

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (5 y)}{\cos (5 y)}$ .

$y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (5 y)}{\sin (5 y)} \cos (5 y)$

Bước 5.2.3.8

Quy đổi từ $\frac{\cos (5 y)}{\sin (5 y)}$ sang $\cot (5 y)$ .

$y' = \frac{1}{5} \cot (5 y) \cos (5 y)$

Bước 5.2.3.9

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\cot (5 y)$ .

$y' = \frac{\cot (5 y)}{5} \cos (5 y)$

Bước 5.2.3.10

Kết hợp $\frac{\cot (5 y)}{5}$ và $\cos (5 y)$ .

$y' = \frac{\cot (5 y) \cos (5 y)}{5}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (5 y) \cos (5 y)}{5}$