Giải tích Ví dụ

$y = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3}})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.6.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.6.3

Di chuyển ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2 \cdot 1)$

Bước 3.11

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2)$

Bước 3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.12.2

Nhân $2 x + 2$ với $\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.12.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.12.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.12.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$