Giải tích Ví dụ

$y = (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Bước 4.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \csc^{2} (3 x - 1)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \csc (3 x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (3 x - 1)$ .

$2 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Bước 4.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Bước 4.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (3 x - 1)$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 3 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x - 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Bước 4.3.3.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Bước 4.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x - 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Bước 4.3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Bước 4.3.5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Bước 4.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Bước 4.3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Bước 4.3.8

Nhân $3$ với $1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 + 0)))$

Bước 4.3.9

Cộng $3$ và $0$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \cdot 3))$

Bước 4.3.10

Nhân $3$ với $- 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- 3 \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

Bước 4.3.11

Nhân $- 3$ với $2$ .

$2 - (- 6 \csc (3 x - 1) (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

Bước 4.3.12

Nâng $\csc (3 x - 1)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

Bước 4.3.13

Nâng $\csc (3 x - 1)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc^{1} (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

Bước 4.3.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 - (- 6 {\csc (3 x - 1)}^{1 + 1} \cot (3 x - 1))$

Bước 4.3.15

Cộng $1$ và $1$ .

$2 - (- 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1))$

Bước 4.3.16

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$2 + 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1)$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$