Giải tích Ví dụ

$y = x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $x^{5}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{8}$ và $g (x) = \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{5}}{5})] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x - \frac{x^{5}}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - \frac{x^{5}}{5}$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x^{8} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - \frac{x^{5}}{5}$ .

$x^{8} (\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}}$ và $x^{8}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{x^{5}}{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.4

Vì $- \frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{5}}{5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} (5 x^{4})) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - 5 (\frac{1}{5}) x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.6.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5}{5} x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.6.3

Kết hợp $\frac{- 5}{5}$ và $x^{4}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5 x^{4}}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 5$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5 x^{4}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.6.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.4.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.6.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- x^{4}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.6.4.2.4

Chia $- x^{4}$ cho $1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) (8 x^{7})$

Bước 3.4.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$(1 - x^{4}) \frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$