Giải tích Ví dụ

$y = x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $x^{7}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{7}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{7}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.5.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.5.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.2.5.2.5

Chia $x^{6}$ cho $1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - \frac{1}{2} (2 x)$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - 2 (\frac{1}{2}) x$

Bước 3.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- 2}{2} x$

Bước 3.3.5

Kết hợp $\frac{- 2}{2}$ và $x$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- 2 x}{2}$

Bước 3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2}$

Bước 3.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Bước 3.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- x}{1}$

Bước 3.3.6.2.4

Chia $- x$ cho $1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - x$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$