Giải tích Ví dụ

$y = 2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.3.3

Nhân $- 5$ với $1$ .

$4 x - 5 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{- 2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$4 x - 5 + 3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$4 x - 5 + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.4.3

Nhân $- 2$ với $3$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Bước 3.5

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{- 3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 (- 3 x^{- 4})$

Bước 3.5.3

Nhân $- 3$ với $4$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} - 12 x^{- 4}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 x^{- 4}$

Bước 3.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 3.6.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x - 5 + \frac{- 6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 3.6.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 3.6.3.3

Kết hợp $- 12$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} + \frac{- 12}{x^{4}}$

Bước 3.6.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$

Bước 3.6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$