Giải tích Ví dụ

$y = 3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{8}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{8}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$3 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Bước 3.2.3

Nhân $8$ với $3$ .

$24 x^{7} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$24 x^{7} - \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2})$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 3.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$24 x^{7} + x^{3} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 3.5.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 3.5.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 3.5.2.4

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 3.5.2.5

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.2.6

Nhân $3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.6.1

Kết hợp $3$ và $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.2.6.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{x^{2} (3 \sin (x))}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.2.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Nhân với $1$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.3.2

Tách các phân số.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.3.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.3.4

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.3.5

Tách các phân số.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 3.5.3.6

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 3.5.3.7

Chia $3 x^{2}$ cho $1$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$