Giải tích Ví dụ

$y = 5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \cos^{- 4} (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 4}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$5 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.2.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$5 (4 \cos^{- 5} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.2.5

Nhân $4$ với $5$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Bước 3.3.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Bước 3.3.5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Bước 3.3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)$

Bước 3.3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Bước 3.3.8

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Bước 3.3.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Bước 3.3.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Bước 3.3.11

Cộng $1$ và $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại $- \sin^{2} (x)$ và $\cos^{2} (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Bước 3.4.2

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 3.4.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 3.4.3.2

Kết hợp $20$ và $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 3.4.3.3

Nhân với $1$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x) \cdot 1} \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 3.4.3.4

Tách các phân số.

$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 3.4.3.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ sang $\sec^{5} (x)$ .

$\frac{20}{1} \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 3.4.3.6

Chia $20$ cho $1$ .

$20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$