Giải tích Ví dụ

$y = \tan^{2} (\sin (x))$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (\sin (x)))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (\sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (\sin (x))$ .

$2 \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x) \tan (\sin (x))$

Bước 3.4.2

Viết lại $\sec (\sin (x))$ theo sin và cosin.

$2 {(\frac{1}{\cos (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Bước 3.4.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Bước 3.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Bước 3.4.5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Bước 3.4.6

Kết hợp $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Bước 3.4.7

Viết lại $\tan (\sin (x))$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Bước 3.4.8

Kết hợp.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Bước 3.4.9

Nhân $\cos^{2} (\sin (x))$ với $\cos (\sin (x))$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.9.1

Nhân $\cos^{2} (\sin (x))$ với $\cos (\sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.9.1.1

Nâng $\cos (\sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Bước 3.4.9.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{2 + 1}}$

Bước 3.4.9.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{3} (\sin (x))}$

Bước 3.4.10

Đưa $\cos (\sin (x))$ ra ngoài $\cos^{3} (\sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos^{2} (\sin (x))}$

Bước 3.4.11

Tách các phân số.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Bước 3.4.12

Viết lại $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ ở dạng một tích.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Bước 3.4.13

Viết $\cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Bước 3.4.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.14.1

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Bước 3.4.14.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ sang $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Bước 3.4.15

Đưa $\cos (\sin (x))$ ra ngoài $\cos^{2} (\sin (x))$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Bước 3.4.16

Tách các phân số.

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Bước 3.4.17

Quy đổi từ $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ sang $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Bước 3.4.18

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Bước 3.4.19

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ sang $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Bước 3.4.20

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Bước 3.4.21

Nhân $2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.21.1

Nâng $\sec (\sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Bước 3.4.21.2

Nâng $\sec (\sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec^{1} (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Bước 3.4.21.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sec (\sin (x))}^{1 + 1} \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Bước 3.4.21.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$