Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sec (2 x)$ và $g (x) = 1 + \tan (2 x)$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \tan (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3.6

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.5

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.9

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \cdot 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.11

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 \sec (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.1.2

Nhân $2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.1.2.1

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.1.2.2

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.2

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.2.1

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.2.2

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.2.3

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $- 2 \sec^{3} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.2.4

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.2.5

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.3

Sắp xếp lại $\tan^{2} (2 x)$ và $- \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - \sec^{2} (2 x) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) - \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.4.10

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.5

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.5.1

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.5.2

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $- 2 \sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.12.5.3

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$