Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\ln (4 x)}{9 x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (4 x)}{9 x})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\ln (4 x)}{9 x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (4 x)$ và $g (x) = x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\frac{1}{4 x}$ và $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{1}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.3

Nhân $\frac{d}{d x} [x]$ với $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 3.4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$

Bước 3.4.7.2

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$