Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{e^{x} + 20}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{e^{x} + 20}$ ở dạng ${(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = e^{x} + 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{x} + 20$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x} + 20$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.6

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.6.2.2

Di chuyển ${(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Bước 4.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 20$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [20])$

Bước 4.8

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Vì $20$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $20$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

Bước 4.8.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

Bước 4.8.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ và $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$