Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}}$ ở dạng ${(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 5$ và $g (x) = x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.3

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.7

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.8.8.3

Nhân $\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 4.8.8.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 \cdot {(x^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 4.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 5})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.9.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 5}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.7.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.4

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.7

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.8

Nhân $- 2$ với $- 5$ .

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3} + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.9

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$\frac{8 x + 0 + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.10

Cộng $8 x$ và $0$ .

$\frac{8 x + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.11

Cộng $8 x$ và $10 x$ .

$\frac{18 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.12

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.7.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $18 x$ .

$\frac{2 (9 x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.7.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (9 x)}{2 ({(x^{2} + 4)}^{2})} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (9 x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.13

Nhân $\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ với $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.14

Di chuyển ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.15

Nhân ${(x^{2} + 4)}^{2}$ với ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.7.15.1

Di chuyển ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.15.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.15.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.15.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.15.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.15.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.7.15.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.9.7.15.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$