Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} \log_{2} (5 - 4 x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \log_{2} (5 - 4 x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \log_{2} (5 - 4 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{2} (5 - 4 x)] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{2} (x)$ và $g (x) = 5 - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 - 4 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\log_{2} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 - 4 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.3

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [- 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.5

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \cdot 1 + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) (2 x)$

Bước 3.3.10

Di chuyển $\log_{2} (- 4 x + 5)$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$

Bước 3.4

Để viết $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) \cdot \frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Bước 3.5

Kết hợp $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ và $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + \frac{2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Bước 3.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1.1

Rút gọn $2 \log_{2} (- 4 x + 5)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1.2.1

Rút gọn $- 4 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (2^{4})) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.1.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.1.2.3

Rút gọn $5 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (2^{5}))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.1.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16))) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) x + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) (x \cdot x) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ .

$\frac{- 4 x^{2} - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}))$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.9

Viết lại $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ ở dạng $- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x \ln (2)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) + 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $5 \ln (2)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))}$

Bước 3.7.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Bước 3.7.13

Viết lại $- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ ở dạng $- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Bước 3.7.14

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Bước 3.7.15

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Bước 3.7.16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$