Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\tan (x))$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\tan (x)))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.4

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.5

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\cot (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Bước 3.6.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Bước 3.6.3

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.6.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.6.5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.6.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.6.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 3.6.6

Nhân $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ với $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 3.6.7

Tách các phân số.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 3.6.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Bước 3.6.9

Tách các phân số.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Bước 3.6.10

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Bước 3.6.11

Chia $1^{2}$ cho $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Bước 3.6.12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Bước 3.6.13

Nhân $\csc (x)$ với $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \csc (x) \sec (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \sec (x)$