Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x^{6} (x^{9} - x + 5))$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{6} (x^{9} - x + 5)))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{6}$ và $g (x) = x^{9} - x + 5$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} \frac{d}{d x} [x^{9} - x + 5] + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{9} - x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.6

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + 0) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.7

Cộng $9 x^{8} - 1$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) (6 x^{5}))$

Bước 3.3.9

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{9} - x + 5$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 \cdot (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Bước 3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Bước 3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + (6 x^{9} + 6 (- x) + 6 \cdot 5) x^{5})$

Bước 3.4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Nhân $x^{6}$ với $x^{9}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x^{6 + 9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.1.2

Cộng $6$ và $9$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.2

Nhân $x^{6}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{1}{x^{15} + x \cdot x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.2.2

Nhân $x$ với $x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{1} x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x^{15} + x^{1 + 6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.2.3

Cộng $1$ và $6$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{7} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{7}$ .

$\frac{1}{x^{15} - 1 \cdot x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.4

Viết lại $- 1 x^{7}$ ở dạng $- x^{7}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 \cdot x^{6}} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.6

Nhân $x^{6}$ với $x^{8}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.6.1

Di chuyển $x^{8}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8} x^{6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8 + 6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.6.3

Cộng $8$ và $6$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{14} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.7

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x^{14}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 \cdot x^{14} + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.8

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - 1 \cdot x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.9

Viết lại $- 1 x^{6}$ ở dạng $- x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.10

Nhân $x^{9}$ với $x^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.10.1

Di chuyển $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 (x^{5} x^{9}) + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.10.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{5 + 9} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.10.3

Cộng $5$ và $9$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.11

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x \cdot x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.12

Nhân $x$ với $x^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.12.1

Di chuyển $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x) + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.12.2

Nhân $x^{5}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.12.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x^{1}) + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.12.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{5 + 1} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.12.3

Cộng $5$ và $1$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Bước 3.4.5.13

Nhân $6$ với $5$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

Bước 3.4.5.14

Cộng $9 x^{14}$ và $6 x^{14}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - x^{6} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

Bước 3.4.5.15

Trừ $6 x^{6}$ khỏi $- x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$

Bước 3.4.6

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}}$

Bước 3.4.7

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $x^{15}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} - x^{7} + 5 x^{6}}$

Bước 3.4.7.2

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $- x^{7}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + 5 x^{6}}$

Bước 3.4.7.3

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $5 x^{6}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5}$

Bước 3.4.7.4

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $x^{6} x^{9} + x^{6} (- x)$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5}$

Bước 3.4.7.5

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Bước 3.4.8

Nhân $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ với $\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$ .

$\frac{15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Bước 3.4.9

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.9.1

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $15 x^{14}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Bước 3.4.9.2

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $- 7 x^{6}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Bước 3.4.9.3

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $30 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Bước 3.4.9.4

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x)$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Bước 3.4.9.5

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Bước 3.4.10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.10.1

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

Bước 3.4.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

Bước 3.4.10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$