Giải tích Ví dụ

$z = x^{3} e^{x y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{3} e^{x y})$

Bước 2

Đạo hàm của $z$ đối với $y$ là $z'$ .

$z'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x^{3} e^{x y}$ đối với $y$ là $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$x^{3} (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Bước 3.3

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 3.4

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Bước 3.4.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Bước 3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Bước 3.4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{4} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{4} (e^{x y} \cdot 1)$

Bước 3.6

Nhân $e^{x y}$ với $1$ .

$x^{4} e^{x y}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$z' = x^{4} e^{x y}$

Bước 5

Thay thế $z'$ bằng $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = x^{4} e^{x y}$