Giải tích Ví dụ

$y = p^{\sqrt{x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [p^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Lấy đạo hàm bằng cách dùng công thức đạo hàm hàm lũy thừa, công thức phát biểu rằng $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ bằng $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ khi $f = p$ và $g = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [p] (x^{\frac{1}{2}} p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $p$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $p$ đối với $x$ là $0$ .

$0 (x^{\frac{1}{2}} p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $0$ .

$0 p^{x^{\frac{1}{2}} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 3.2.2

Nhân $0$ với $p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 3.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Bước 10

Kết hợp $p^{x^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} \ln (p)$

Bước 11

Kết hợp $\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $\ln (p)$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} \ln (p)}{2}$

Bước 12

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$