Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{x} \cos (\sqrt{x})$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (\sqrt{x})]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})] + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9.3

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9.4

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9.5

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9.6

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9.7

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 14.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 17

Kết hợp $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 18

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}$