Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{2 x}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{2 x}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x}$ ở dạng ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3.4

Vì $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3.5

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 3.8

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 3.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 3.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Bước 3.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Bước 3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Bước 3.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 3.15

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Bước 3.16

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Bước 3.16.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Bước 3.16.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Bước 3.16.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Bước 3.16.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Bước 3.16.5.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Bước 3.16.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 3.17

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Bước 3.18

Nhân $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Bước 3.19

Nhân $2^{\frac{1}{2}}$ với $2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.1

Di chuyển $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.19.2

Nhân $2$ với $2^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.19.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.19.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.19.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.19.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$