Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} \sqrt{4 x - 3}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 x - 3}$ ở dạng ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 8.3

Di chuyển ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3] + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 10

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 12

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 13

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ và $4$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 14.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 14.4

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 15

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 15.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 15.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Bước 17

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$

Bước 18

Kết hợp $\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ và $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Di chuyển ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 18.2

Để viết $2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19

Nhân ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Di chuyển ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{1}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20

Rút gọn $2 x {(4 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x (4 x - 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + 2 x (4 x) + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 x \cdot x + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.2.1.3

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.2.1.4

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x^{2} - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.2.2

Cộng $2 x^{2}$ và $8 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $10 x^{2} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.3.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $10 x^{2}$ .

$\frac{2 x (5 x) - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.3.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 6 x$ .

$\frac{2 x (5 x) + 2 x (- 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.3.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (5 x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (5 x - 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$