Giải tích Ví dụ

$e^{4 x} + e^{- x}$

Bước 1

Viết $e^{4 x} + e^{- x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{4 x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.2.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 2.1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 2.1.3.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 2.1.3.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Bước 3.2

Di chuyển $- e^{- x}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng nó vào cả hai vế.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại $\ln (4 e^{4 x})$ ở dạng $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Bước 3.4.2

Khai triển $\ln (e^{4 x})$ bằng cách di chuyển $4 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Bước 3.4.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Bước 3.4.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Bước 3.5

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Khai triển $\ln (e^{- x})$ bằng cách di chuyển $- x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Bước 3.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Bước 3.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Bước 3.6

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Bước 3.6.2

Cộng $4 x$ và $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Bước 3.7

Trừ $\ln (4)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5 x = - \ln (4)$

Bước 3.8

Chia mỗi số hạng trong $5 x = - \ln (4)$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Chia mỗi số hạng trong $5 x = - \ln (4)$ cho $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Bước 3.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Bước 3.8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Bước 3.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.27725887$ trong biểu thức.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $4$ với $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

Bước 6.2.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

Bước 6.2.1.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

Bước 6.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Bước 6.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$- 3.56262674$

Bước 6.4

Tại $x = - 1.27725887$ đạo hàm là $- 3.56262674$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ .

Giảm trên $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.72274112$ trong biểu thức.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $4$ với $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

Bước 7.2.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Bước 7.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Bước 7.3

Rút gọn.

$71.55727104$

Bước 7.4

Tại $x = 0.72274112$ đạo hàm là $71.55727104$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

Tăng trên $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

Bước 9