Giải tích Ví dụ

$y = 3 x \log (3 x)$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x \log (3 x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x \log (3 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \log (3 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \log (3 x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\log (3 x)] + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\log (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$3 (x (\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]) + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$3 (x (\frac{1}{3 x \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]) + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{3 x \ln (10)}$ và $x$ .

$3 (\frac{x}{3 x \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x] + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{x}{3 x \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x] + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{1}{3 \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x] + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3 \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3 \ln (10)}$ .

$3 (\frac{3}{3 \ln (10)} \frac{d}{d x} [x] + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{3}{3 \ln (10)} \frac{d}{d x} [x] + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{1}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x] + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{\ln (10)} \cdot 1 + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6

Nhân $\frac{1}{\ln (10)}$ với $1$ .

$3 (\frac{1}{\ln (10)} + \log (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{\ln (10)} + \log (3 x) \cdot 1)$

Bước 4.8

Nhân $\log (3 x)$ với $1$ .

$3 (\frac{1}{\ln (10)} + \log (3 x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \frac{1}{\ln (10)} + 3 \log (3 x)$

Bước 5.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{\ln (10)}$ .

$\frac{3}{\ln (10)} + 3 \log (3 x)$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 \log (3 x) + \frac{3}{\ln (10)}$