Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\ln (5 x + 5))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \ln (5 x + 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (5 x + 5)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (5 x + 5)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 x + 5$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x + 5$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{1}{5 x + 5} \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{5 x + 5}$ với $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)}$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} \frac{d}{d x} [5 x + 5]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 3.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 3.5

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 3.6

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 + 0)$

Bước 3.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Cộng $5$ và $0$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} \cdot 5$

Bước 3.7.2

Kết hợp $\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$ và $5$ .

$\frac{5}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

Bước 3.7.3

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $5 x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5 \cdot 1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

Bước 3.7.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 ((x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5)))}$

Bước 3.7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 1}{5 ((x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5)))}$

Bước 3.7.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{(x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

Bước 3.7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{(1 + \ln^{2} (5 x + 5)) (x + 1)}$