Giải tích Ví dụ

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arccos (x)$ và $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arccos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Bước 2

Viết lại $\frac{1}{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.2.2

Kết hợp ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.2.3

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

Bước 4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

Bước 4.7.2

Kết hợp $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 5.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Bước 5.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Bước 5.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Bước 5.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Bước 5.4.4

Viết lại $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Bước 5.4.4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1 + x^{2}$ và $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Bước 5.4.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.3.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Bước 5.4.4.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Bước 5.4.4.3.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Bước 5.4.5

Viết lại $\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ ở dạng ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.5.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $x^{2}$ ra ngoài $(x^{2} + 2) x^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Bước 5.4.5.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

Bước 5.4.5.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

Bước 5.4.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Bước 5.4.7

Kết hợp $\frac{x}{x^{2} + 1}$ và $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Bước 5.5

Kết hợp ${(1 + x^{2})}^{2}$ và $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Bước 5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(1 + x^{2})}^{2}$ và $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Bước 5.6.1.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Bước 5.6.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.3.1

Nhân với $1$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Bước 5.6.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Bước 5.6.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

Bước 5.6.1.3.4

Chia $(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ cho $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.6.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.6.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.6.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.6.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.6.6

Đưa $x \sqrt{x^{2} + 2}$ ra ngoài $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.6.1

Đưa $x \sqrt{x^{2} + 2}$ ra ngoài $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.6.6.2

Đưa $x \sqrt{x^{2} + 2}$ ra ngoài $x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

Bước 5.6.6.3

Đưa $x \sqrt{x^{2} + 2}$ ra ngoài $x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Bước 5.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Bước 5.8

Nhân $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.9

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 5.9.2

Di chuyển $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Bước 5.9.3

Nâng $\sqrt{x^{2} + 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Bước 5.9.4

Nâng $\sqrt{x^{2} + 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Bước 5.9.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Bước 5.9.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Bước 5.9.7

Viết lại ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ ở dạng $x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 2}$ ở dạng ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.9.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.9.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.9.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.9.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Bước 5.9.7.5

Rút gọn.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$