Giải tích Ví dụ

$y = 7 e^{x^{3} + 2} + \ln (x^{3} + 2)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 e^{x^{3} + 2} + \ln (x^{3} + 2)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 e^{x^{3} + 2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [e^{x^{3} + 2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{3} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3} + 2$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$7 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3} + 2$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2} + 0)) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2.6

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $7$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{3} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3} + 2$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3} + 2$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2} + 0)$

Bước 3.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2})$

Bước 3.6

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{3} + 2}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{3}{x^{3} + 2} x^{2}$

Bước 3.7

Kết hợp $\frac{3}{x^{3} + 2}$ và $x^{2}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $21 e^{x^{3} + 2} x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{3} + 2}{x^{3} + 2}$ .

$\frac{21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2)}{x^{3} + 2} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Bước 4.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2) + 3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 x^{2} + 21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2)}{x^{3} + 2}$