Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 4 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 2.3

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 2.5

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 2.6

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + 0)$

Bước 2.7

Cộng $2 x - 4$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Bước 3.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Bước 3.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 3.2.3

Viết lại đa thức này.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Bước 3.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.3

Nhân $2 x - 4$ với $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x - 2$ và ${(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $x - 2$ ra ngoài $2 (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $x - 2$ ra ngoài ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Bước 3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x - 2}$