Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x} + 1$ và $g (x) = e^{x} - 1$ .

$\frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 6.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Trừ $e^{x} e^{x}$ khỏi $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.4.1.2

Trừ $1 e^{x}$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Viết lại $- 1 e^{x}$ ở dạng $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.4.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.4.2.3

Viết lại $- 1 e^{x}$ ở dạng $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.4.3

Trừ $e^{x}$ khỏi $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$