Giải tích Ví dụ

$y = {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = \cot (x) - \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cot (x) - \csc (x)$ .

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cot (x) - \csc (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \csc (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Bước 5

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) - (- \csc (x) \cot (x)))$

Bước 6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) + 1 (\csc (x) \cot (x)))$

Bước 6.2

Nhân $\csc (x)$ với $1$ .

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$