Giải tích Ví dụ

$y = \frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (| 3 x |)$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = | 3 x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $| 3 x |$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $| 3 x |$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{| 3 x |}$ và $x^{2}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 6.2

Đạo hàm của $| u_{2} |$ đối với $u_{2}$ là $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{3 x}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 7

Nhân $\frac{3 x}{| 3 x |}$ với $\frac{x^{2}}{| 3 x |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x \cdot x^{2}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 8

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x)}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 8.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x^{1})}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{2 + 1}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 8.3

Cộng $2$ và $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 9

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x (3 x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 10

Nhân $3$ với $3$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x \cdot x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x^{1}) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 14

Cộng $1$ và $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 15

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 16

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - 3 \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 16.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 3 (3 x^{3})}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 16.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Nhân $3$ với $- 3$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 16.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \cdot 1}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 18

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 18.2

Kết hợp $5$ và $\frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$ .

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x)) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{5 (2 \ln (| 3 x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.2

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\frac{5 (2 \ln (3 | x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.3

Rút gọn $2 \ln (3 | x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{5 (\ln ({(3 | x |)}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 | x |$ .

$\frac{5 (\ln (3^{2} {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{5 (\ln (9 {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.6

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{5 (\ln (9 x^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.7

Nhân $5 (\ln (9 x^{2}) x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.7.1

Sắp xếp lại $\ln (9 x^{2})$ và $5$ .

$\frac{5 \cdot \ln (9 x^{2}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.7.2

Rút gọn $5 \cdot \ln (9 x^{2})$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$\frac{\ln ({(9 x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.8

Áp dụng quy tắc tích số cho $9 x^{2}$ .

$\frac{\ln (9^{5} {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.9

Nâng $9$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{\ln (59049 {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.10

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.10.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (59049 x^{2 \cdot 5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.10.2

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.11

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.12

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.12.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{3}}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.13

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.13.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.13.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x}{1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.13.2.4

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- x)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.1.14

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (59049 x^{10}) x - 5 x$ .

$\frac{x \ln (59049 x^{10}) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (59049 x^{10}) - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (59049 x^{10})$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 5 x$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Bước 19.4

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (3 | x |)}$