Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x - 3$ và $g (x) = 5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 \cdot (5 x + 1) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.10

Nhân $5$ với $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Cộng $5$ và $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.12.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.12.3

Kết hợp $\frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ và $4$ .

$\frac{(2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)) \cdot 4}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Bước 3.12.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{4 (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (2 (5 x)) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{4 (10 x) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.2

Nhân $10$ với $4$ .

$\frac{40 x + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{40 x + 4 \cdot 2 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.4

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.5

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 10 x) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.6

Nhân $- 10$ với $4$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.7

Nhân $- 5$ với $- 3$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 \cdot 15}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.8

Nhân $4$ với $15$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.9

Trừ $40 x$ khỏi $40 x$ .

$\frac{0 + 8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.10

Cộng $0$ và $8$ .

$\frac{8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.11

Cộng $8$ và $60$ .

$\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.12

Nhân $\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}}$ với $\frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{3}}$

Bước 4.5.13

Nhân ${(5 x + 1)}^{2}$ với ${(5 x + 1)}^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.13.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2 + 3}}$

Bước 4.5.13.2

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{5}}$