Giải tích Ví dụ

$y = {(2 x - 1)}^{3} {(x + 7)}^{- 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(2 x - 1)}^{3}$ và $g (x) = {(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 3}] + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 3}$ và $g (x) = x + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 3.3

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \cdot 1) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 3.4.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 2 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 5.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 5.5

Nhân $2$ với $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 5.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + 0)$

Bước 5.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Cộng $2$ và $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \cdot 2$

Bước 5.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 6.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{{(x + 7)}^{4}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{- 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 6.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

${(2 x - 1)}^{3} (- \frac{3}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 6.3.3

Kết hợp ${(2 x - 1)}^{3}$ và $\frac{3}{{(x + 7)}^{4}}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{3} \cdot 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 6.3.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 6.3.5

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{{(x + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 6.3.6

Kết hợp $\frac{6}{{(x + 7)}^{3}}$ và ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$

Bước 6.3.7

Để viết $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Bước 6.3.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${(x + 7)}^{4}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.1

Nhân $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ với $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} (x + 7)}$

Bước 6.3.8.2

Nhân ${(x + 7)}^{3}$ với $x + 7$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.2.1

Nhân ${(x + 7)}^{3}$ với $x + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.2.1.1

Nâng $x + 7$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} {(x + 7)}^{1}}$

Bước 6.3.8.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3 + 1}}$

Bước 6.3.8.2.2

Cộng $3$ và $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $3 {(2 x - 1)}^{2}$ ra ngoài $- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Đưa $3 {(2 x - 1)}^{2}$ ra ngoài $- 3 {(2 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.1.2

Đưa $3 {(2 x - 1)}^{2}$ ra ngoài $6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.1.3

Đưa $3 {(2 x - 1)}^{2}$ ra ngoài $3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1) + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x) - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 2 \cdot 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.6

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.7

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (0 + 1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.8

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.9

Cộng $1$ và $14$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} \cdot 15}{{(x + 7)}^{4}}$

Bước 6.4.10

Nhân $15$ với $3$ .

$\frac{45 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{4}}$