Giải tích Ví dụ

$y = (7 \sqrt{x} + 6) x^{2}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ và $g (x) = x^{2}$ .

$(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(7 x^{\frac{1}{2}} + 6) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ .

$2 \cdot (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} + 6]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.4

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 8.3

Kết hợp $7$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 8.4

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 9

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Bước 10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 11

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Bước 11.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Bước 11.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Bước 11.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Bước 11.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Bước 11.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Bước 11.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 12

Kết hợp $2 (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) x$ và $\frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển $7 x^{\frac{1}{2}} + 6$ .

$2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 12.2

Để viết $2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 12.3

Kết hợp $2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 12.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 2 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 13

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 x (7 x^{\frac{1}{2}} + 6) + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x (7 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 \cdot 7 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.1.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 7 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.1.2.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \cdot 7 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.1.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.1.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{4 \cdot 7 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.1.3

Nhân $4$ với $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 6 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.1.4

Nhân $6$ với $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.2.2

Cộng $28 x^{\frac{3}{2}}$ và $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{24 x + 35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.3

Đưa $x$ ra ngoài $24 x + 35 x^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $24 x$ .

$\frac{x \cdot 24 + 35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 14.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $35 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 24 + x (35 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 14.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 24 + x (35 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (24 + 35 x^{\frac{1}{2}})}{2}$