Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3 \tan (x)}{2 π - \sin (x)}$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 \tan (x)}{2 π - \sin (x)}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{2 π - \sin (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{2 π - \sin (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 π - \sin (x)$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [2 π - \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [2 π - \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 π - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $2 π$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 π$ đối với $x$ là $0$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.5.2

Nhân $\tan (x)$ với $1$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp $3$ và $\frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{3 ((2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (2 π \sec^{2} (x) - \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (2 π \sec^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{3 (2 π {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 (2 π \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3 (2 π \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.4

Nhân $2 π \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.4.1

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ và $2$ .

$\frac{3 (\frac{2}{\cos^{2} (x)} π) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.4.2

Kết hợp $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ và $π$ .

$\frac{3 \frac{2 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.5

Nhân $3 \frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.5.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{3 (2 π)}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.6

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.9

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.10

Nhân $3 (- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.10.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.12

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.12.1

Viết lại $3 (\tan (x) \cos (x))$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.1.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2.2

Tách các phân số.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{\cos (x)} \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2.4

Tách các phân số.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{1} \sec (x) \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2.6

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (3 \sec (x) \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$ với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.4.2

Kết hợp.

$\frac{\cos^{2} (x) (\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 π + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.4.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{6 π + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Bước 7.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) \sec (x) \tan (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x) + 6 π}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$